Trigonometría 2 016

Estática II: Primera condición de equilibrio

Para el bloque verde no se mueve su velocidad es igual a Om/s, esto se debe a que todas las fuerzas que lo afectan (peso y normal) son de la misma magnitud.

Para el auto su velocidad es constante, por eso se dice que es un Movimiento Recto Uniforme (MRU), el cual también es un cuerpo en equilibrio porque no hay ninguna fuerza que hace variar su estado( MRU).

El primer caso se llama equilibrio estático, el segundo se llama equilibro cinético. Nosotros estudiaremos el equilibro estático.

Equilibrio Estático:

Observa la imagen, se trata de un barril que está en reposo, con una masa de 30kg.

Dibujamos su diagrama de caída  libre

El bloque tiene una masa de 30kg, entonces su peso (P) será de 300N, por lo que podemos deducir que la tensión (T) también posee un valor de 300N, según este razonamiento concluimos que el cuerpo está en equilibrio.

Estudiamos otro caso:

Al igual que el caso anterior el bloque está en reposo, quiere decir que está en equilibrio.

Si la fuerza hacia la derecha es de 40N, entonces podemos decir que la fuerza que va  hacia la izquierda (X)  también es de 40N, ya que es un cuerpo que está en equilibrio.

Finalmente podemos decir que:

Para todo cuerpo que está en equilibrio estático se cumple que

La sumatoria de todas la fuerza hacia la derecha, son iguales a la sumatoria de las todas fuerzas hacia la izquierda.

Además:

La sumatoria de todas la fuerza hacia la arriba, son iguales a la sumatoria de las todas fuerzas hacia la abajo.

Los siguientes cuerpos están en equilibrio, hallar las variables que faltan. EQILIBRIO

PROBLEMAS NIVEL FÁCIL 

1. Hallar la tensión

Solución:

1.1. La esfera posee una masa de 5 Kg, entonces tenemos que hallar el peso:

Respuesta: 50N

1.2. Ahora gratificamos el DCL

1.3. Luego aplicamos la Primera condición de equilibrio:

En nuestro caso la fórmula sería así:

Peso = Tensión

30N = T

Por lo tanto la tensión es igual a 30N.

Nota: Los procedimientos seguidos anteriormente pueden ser suprimidos cuando los resultados son evidentes.

2. Hallar el peso de la esfera, si la tensión es igual a 400N:

Solución:

2.1. Aplicamos la Primera condición de equilibrio: Sumatoria de fuerzas hacia abajo es igual a la sumatoria de fuerzas hacia arriba.

2.2. Entonces:

Peso  = Tensión

P = 400N

3. Halla la fuerza X

Solución:

3.1. Recordamos la Primera condición de equilibrio:

3.2. Entonces 60N = X

3.3. La Fuerza X es igual a 60N

4. Hallar el valor de F:

Solución:

4.1 Por la primera condición de equilibrio:

F + 120 = 300

F = 180 N

5. Hallar la fuerza F:

6. Hallar la tensión

7. Hallar F

8. Hallar F

 PROBLEMAS NIVEL INTERMEDIO

Problema 1

Una esfera maciza de radio R = 20 cm y masa M = 3 kg está en reposo sobre un plano inclinado de ángulo θ=30º, sostenida por una cuerda horizontal tal como muestra la figura. Calcular:

• La tensión de la cuerda.
• La fuerza normal del plano sobre el cuerpo.
• La fuerza de rozamiento que actúa sobre la esfera

 Solución

• Equilibrio
N·sin30=T+F_r·cos30
N·cos30+F_r·sin30=3·10
Momentos respecto del centro de la esfera
T·R-F_r·R=0
• Solución
T=302+3√ N  N=30 N${\displaystyle T=\frac{30}{2+\sqrt{3}}\text{N}N=30\text{N}}$

Problema 2

Dos cilindros macizos y homogéneos de pesos 6 y 10 kg respectivamente, se apoyan sin rozamiento sobre los planos inclinados de la figura.

Calcular el ángulo φ que forma con la horizontal la recta OO' que une los centros de los dos cilindros en la posición de equilibrio y la reacción de los planos inclinados

 Solución

Problema 3

Calcular el peso mínimo P que se debe colocar en el extremo de la mesa de la figura para que vuelque.

La masa del tablero es de 50 kg y de cada pata de 5 kg. Las dimensiones quedan expresadas en la figura. El centro de gravedad del tablero está en el centro del tablero. Tomar g=10 m/s²

 Solución

Problema 4

Un brazo de grúa de 1200 N de peso se sostiene por el cable AB de la figura. Este brazo está sujeto al suelo mediante la articulación C, y en la parte superior se cuelga un cuerpo de 2000 N de peso. Encontrar la tensión del cable y las componentes de reacción en la articulación.

 Solución

Problema 5

Una barra de 5 kg de peso y 50 cm de longitud descansa apoyada sobre una pared vertical lisa (sin rozamiento) en A y una clavija B distante 20 cm de la pared.

 Solución

Problema 6

Un hombre de 70 kg sube por una escalera de 2 m de longitud y 10 kg de peso, apoyada tal como se indica en la figura. El coeficiente de rozamiento entre el extremo inferior de la escalera y el suelo es 0.4. Calcular: Hallar las reacciones en los apoyos, cuando el hombre ha ascendido x=0.5 m a lo largo de la escalera La máxima altura x a la que puede subir el hombre por la escalera antes de que esta comience a deslizar.

 Solución

Problema 7

Una escalera de 3 m de laongitud y 10 kg de peso está apoyada en una pared lisa AB y en un suelo horizontal AC rugoso (coeficiente estático de rozamiento 0.2) Calcular la reacción de la pared y del suelo cuando un hombre de 70 kg ha subido 50 cm a lo largo de la escalera ¿Cuánto podrá subir como máximo por la escalera?

 Solución

Problema 8

Una varilla homogénea de 20 kg de peso y de 3 m de longitud se apoya sobre un plano horizontal y sobre un plano inclinado 60º, ambos lisos (sin rozamiento) tal como indica la figura. La varilla permanece en equilibrio gracias a la acción de una cuerda horizontal situada a 0.5 m de altura. Determinar:

• La tensión de la cuerda
• Las reacciones de los planos horizontal e inclinado

 Solución

Problema 9

Una barra de 5 m de longitud y 20 kg de peso descansa apoyada sobre un cilindro de 30 kg de peso y 0.5 m de radio. La esfera está sujeta a su vez, por una cuerda de 1.3 m de longitud. Suponiendo que no hay rozamiento entre la barra y el cilindro, y que el coeficiente estático de rozamiento entre el extremo derecho de la barra y el plano horizontal es 0.5.

• Calcular la fuerza de rozamiento y la tensión de la cuerda cuando el ángulo entre la barra y el plano horizontal es de 15º. ¿Deslizará o no la barra?. Razónese la respuesta.

 Solución

Problema 10

Una barra OA de 30 kg de peso y 2 m de longitud, articulada en O, se apoya sobre una caja rectangular de 10 kg de peso y de dimensiones 0.75 y 0.5 m. La caja puede deslizar sobre el plano horizontal. Sabiendo que el ángulo entre la barra y el plano horizontal es de 30º. Calcular:

• La fuerza sobre la articulación O.
• La fuerza que ejerce el plano horizontal sobre la caja y su punto de aplicación.
• ¿Deslizará o no la caja?. Razona la respuesta.

Dato: el coeficiente estático de rozamiento entre la caja y el plano horizontal vale 0.7.

 Solución

Problema 11

Una escalera de mano se arma como se muestra en la figura, un pintor de 70 kg, de masa está parado a 3 m de la base. Suponiendo que el piso no tiene fricción, determine : La tensión de la cuerda que conecta las mitades de la escalera Las reacciones en los apoyos A y B. Las componentes de la fuerza de reacción en la unión C que el lado izquierdo de la escalera ejerce sobre el lado derecho Datos, el tramo AC de la escalera pesa 2.5 kg y el tramo BC 2 Kg

 Solución

cosθ=1.25/4

• Equilibrio de la escalera izquierda
N_A+F_y=70·10+2.5·10
F_x=T
Momentos respecto del vértice de las escaleras
-N_A·1.25+25·0.625+700·1·cosθ+T·2·sinθ+F_x·0+F_y·0=0

• Equilibrio de la escalera derecha
N_B=F_y+2·10
F_x=T
Momentos respecto del vértice de las escaleras
N_B·1.25-20·0.625-T·2·sinθ+F_x·0+F_y·0=0

Momentos respecto del vértice de las escaleras
-N_A·1.25+25·0.625+700·1·cosθ+T·2·sinθ+F_x·0+F_y·0=0

• Equilibrio de la escalera derecha
N_B=F_y+2·10
F_x=T
Momentos respecto del vértice de las escaleras
N_B·1.25-20·0.625-T·2·sinθ+F_x·0+F_y·0=0

• Solución
N_A=461.2 N, N_B=283.7 N , F_x=180.1 N, F_y=263.7 N, T=180.1 N,

Problemas de conservación de la energía

Problema 1

El péndulo de un reloj está formado por una varilla de 500 g y 40 cm de longitud y una lenteja de forma esférica de 200 g de masa y 5 cm de radio, tal como se indica en la figura. El punto de suspensión O está a 10 cm del extremo de la varilla. Calcular: La distancia al centro de masas medida desde O. El momento de inercia respecto de un eje perpendicular a la varilla y que pasa por O. El péndulo se desvía 60º de la posición de equilibrio. Calcular la velocidad angular de rotación cuando pasa por la posición de equilibrio.

 Solución

Problema 2

Un péndulo compuesto está formado por una varilla de 200 g de masa y 40 cm de longitud y dos esferas macizas de 500 g y 5 cm de radio, equidistantes 8 cm de los extremos de la barra. El péndulo se encuentra suspendido de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de una de las esferas, y es desviado 65º de la posición de equilibrio estable. Determinar la velocidad angular del péndulo cuando, una vez soltado, retorna a la posición de equilibrio estable

 Solución

Problema 3

Un sólido está formado por tres barras iguales de longitud L=2 m y de masa M=20 kg en forma de triángulo equilátero, tal como se muestra en la figura. Hallar la posición de su centro de masa. El sistema puede girar alrededor de un eje perpendicular al plano que las contiene y que pasa por O. Calcular la aceleración angular del sistema en el instante inicial. La velocidad angular de la barra cuando ha girado hasta que se encuentra en la posición horizontal.

 Solución

Problemas de conservación del momento angular

Problema 1

Dos esferas iguales de masas 6 kg y 20 cm de radio están montadas como se indica en la figura, y pueden deslizar a lo largo de una varilla delgada de 3 kg de masa y 2 m de longitud. El conjunto gira libremente con una velocidad angular de 120 rpm respecto a un eje vertical que pasa por el centro del sistema.

Inicialmente los centros de las esferas se encuentran fijos a 0.5 m del eje de giro. Se sueltan las esferas y las esferas deslizan por la barra hasta que salen por los extremos. Calcular:

• La velocidad angular de rotación cuando los centros de las esferas se encuentran en los extremos de la varilla.
• Hallar la energía cinética del sistema en los dos casos.

 Solución

Problema 2

Dos niños de 25 kg de masa cada uno están situados en el borde de un disco de 2.6 m de diámetro y 10 kg de masa. El disco gira a razón de 5 rpm respecto del eje perpendicular al disco y que pasa por su centro. ¿Cuál será la velocidad angular del conjunto si cada niño se desplaza 60 cm hacia el centro del disco?. Calcular la variación de energía cinética de rotación del sistema, y explica la causa del incremento de energía.

 Solución

Problema 3

Un niño de 25 kg está agachado sobre la tabla de un columpio desviado 30º de la vertical. La distancia entre el punto de suspensión y el c.m. del niño es 2 m.

• Calcular la velocidad angular ω₁ con la que llega a la posición de equilibrio.
• En esta posición, el niño se levanta rápidamente quedándose de pié sobre el columpio, con lo que eleva su centro de masa 30 cm. Como consecuencia su velocidad angular se incrementa. Calcular la velocidad angularω₂,
• Calcula la máxima desviación θ, del niño cuando está de pié sobre el columpio.
• ¿Cuánto vale la tensión de la cuerda cuando pasa por la posición θ/2?.

 Solución

Problema 4

Un cubo de madera de 2 kg y 20 cm de arista, que descansa sobre una superficie horizontal sin fricción, está sujeto a una barra rígida de longitud 2 m y masa 300 g fijada a la superficie por un extremo en el punto O y por el otro al centro del cubo. Una bala de masa 50 g y velocidad 200m/s se incrusta en el cubo a la altura de su centro de masa (en la dirección perpendicular al cubo, tal como se muestra en la figura)

• ¿Cuál es la velocidad angular del sistema después del choque?.
• ¿Se conserva la energía en esta colisión?.

Momentos de inercia respecto de un eje que pasa por el cm del cubo:I=16ma2$I=\frac{1}{6}m{a}^2$ y de la varilla I=112mL2$I=\frac{1}{12}m{L}^2$

 Solución

Problema 5

Un disco de masa 10 kg y radio 0.5 m está en reposo y puede girar en torno a un eje perpendicular al disco y que pasa por su centro. En la periferia del disco hay un dispositivo de masa despreciable, que permite lanzar un objeto de 200 g a una velocidad de 20 m/s, en la dirección y sentido indicado en la figura. Calcular:

• La velocidad angular del disco después del disparo
• El sentido en que gira.
• La variación de energía

 Solución

Problema 6

Obtener la fórmula del momento de inercia de una puerta de masa M, altura b y anchura a, respecto a un eje que pase a lo largo de su ladob.

Una puerta de masa M, se encuentra en reposo y es golpeada por una bola de masilla de masa m, tal como se muestra en la figura. La velocidad de la bola de masilla es v, y su dirección inicial es horizontal, formando un ángulo θ con la normal a la cara de la puerta, impactando a una distancia D del eje de la misma. Después de la colisión la bola se queda pegada a la puerta. Obtener:

• La expresión de la velocidad de la puerta después de la colisión.
• La variación de energía cinética del sistema (puerta más bola de masilla).

Datos m = 1.1 kg, M = 35 kg, a = 73 cm, b = 190 cm, D = 62 cm, θ = 22º, v = 27 m/s.

 Solución

Problema 7

Una bala de 100 g que lleva una velocidad horizontal de 50 m/s choca con el centro del cilindro de un péndulo. Después del choque la bala se mueve con una velocidad de 40 m/s. El péndulo gira alrededor de O y está formado por una varilla delgada de 200 g de masa y 20 cm de longitud, y un cilindro de 500 g de masa y 5 cm de radio.

• Calcular el ángulo máximo que gira el péndulo como consecuencia del choque y la energía perdida en el mismo.

 Solución

Problema 8

Una bala de 100 g de masa y 25 m/s de velocidad choca con una varilla delgada de masa M = 0.9 kg y longitud L = 45 cm, empotrándose en la misma 35 cm por debajo de su extremo superior. La varilla puede girar libremente alrededor de un eje perpendicular al plano del papel, que pasa por O. Determinar la velocidad angular del sistema varilla-bala inmediatamente después del choque. Calcular el máximo desplazamiento angular del sistema varilla-bala.

 Solución

Problema 9

Una bala de 100 g que lleva una velocidad de 12.5 m/s choca con el centro del disco de un péndulo, tal como se muestra en la figura. Después del choque, la bala queda empotrada en el centro del disco. El péndulo que gira en torno a un eje perpendicular que pasa por O, está formado por una varilla delgada de 200 g de masa y 20 cm de longitud y una lenteja de 500 g de masa y 5 cm de radio. Calcular la velocidad angular del sistema inmediatamente después del choque. Calcular el ángulo máximo que gira el péndulo como consecuencia del choque, y la energía perdida en el mismo.

 Solución

Problema 10

Disparamos una bala de 50 g con velocidad v contra un péndulo compuesto por una esfera y una barra, como indica la figura. Características de la barra: 40 cm de longitud, 200 g de masa; características de la esfera: 5 cm de radio y 500 g de masa. La barra está fijada por un punto O situado a 8 cm de su extremo.

• Si la bala se incrusta en el péndulo, calcular el valor mínimo de v para que el péndulo dé una vuelta completa.
• Si la bala atraviesa el péndulo y sale con velocidad v/2, calcular el ángulo de desviación máxima al que llegará el péndulo.

 Solución

Problema 11

Un péndulo está formado por una varilla delgada de 200 g de masa y 20 cm de longitud y una lenteja de forma cilíndrica 500 g de masa y 5 cm de radio. En el centro de la lenteja hay un dispositivo que lanza una partícula de 100 g con una velocidad de 12.5 m/s haciendo un ángulo de 30º con la horizontal tal como se muestra en la figura. Calcular la velocidad angular del péndulo inmediatamente después del disparo de la partícula. Calcular el máximo desplazamiento angular del péndulo

 Solución

Problema 12

Un sólido rígido en rotación en el plano horizontal con velocidad angular constante de 120 rpm, está formado por una varilla delgada de 2 kg de masa y 80 cm de longitud y dos esferas iguales de 6 kg y 10 cm de radio, tal como se muestra en la figura. Se dispara una bala de 300 g con velocidad v haciendo 30º con la horizontal. La bala se incrusta en el centro de la esfera.

• Cuál debe ser la velocidad v para que el sistema se pare después del choque.

 Solución

Problema 13

Un péndulo está formado por una varilla de 200 g de masa y 40 cm de longitud y dos esferas macizas: la superior de 500 g y 5cm de radio y la inferior de 400 g y 4 cm de radio, equidistantes 8 cm de los extremos de la barra. El péndulo se encuentra suspendido de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de la esfera superior. Sobre el centro de la esfera inferior incide una bala de 50 g y 10 m/s de velocidad que queda alojada en el centro de la esfera. Calcular Desplazamiento angular máximo del péndulo

 Solución

Problemas de conservación del momento angular

Problema 1

Dos esferas iguales de masas 6 kg y 20 cm de radio están montadas como se indica en la figura, y pueden deslizar a lo largo de una varilla delgada de 3 kg de masa y 2 m de longitud. El conjunto gira libremente con una velocidad angular de 120 rpm respecto a un eje vertical que pasa por el centro del sistema.

Inicialmente los centros de las esferas se encuentran fijos a 0.5 m del eje de giro. Se sueltan las esferas y las esferas deslizan por la barra hasta que salen por los extremos. Calcular:

• La velocidad angular de rotación cuando los centros de las esferas se encuentran en los extremos de la varilla.
• Hallar la energía cinética del sistema en los dos casos.

 Solución

Problema 2

Dos niños de 25 kg de masa cada uno están situados en el borde de un disco de 2.6 m de diámetro y 10 kg de masa. El disco gira a razón de 5 rpm respecto del eje perpendicular al disco y que pasa por su centro. ¿Cuál será la velocidad angular del conjunto si cada niño se desplaza 60 cm hacia el centro del disco?. Calcular la variación de energía cinética de rotación del sistema, y explica la causa del incremento de energía.

 Solución

Problema 3

Un niño de 25 kg está agachado sobre la tabla de un columpio desviado 30º de la vertical. La distancia entre el punto de suspensión y el c.m. del niño es 2 m.

• Calcular la velocidad angular ω₁ con la que llega a la posición de equilibrio.
• En esta posición, el niño se levanta rápidamente quedándose de pié sobre el columpio, con lo que eleva su centro de masa 30 cm. Como consecuencia su velocidad angular se incrementa. Calcular la velocidad angularω₂,
• Calcula la máxima desviación θ, del niño cuando está de pié sobre el columpio.
• ¿Cuánto vale la tensión de la cuerda cuando pasa por la posición θ/2?.

 Solución

Problema 4

Un cubo de madera de 2 kg y 20 cm de arista, que descansa sobre una superficie horizontal sin fricción, está sujeto a una barra rígida de longitud 2 m y masa 300 g fijada a la superficie por un extremo en el punto O y por el otro al centro del cubo. Una bala de masa 50 g y velocidad 200m/s se incrusta en el cubo a la altura de su centro de masa (en la dirección perpendicular al cubo, tal como se muestra en la figura)

• ¿Cuál es la velocidad angular del sistema después del choque?.
• ¿Se conserva la energía en esta colisión?.

Momentos de inercia respecto de un eje que pasa por el cm del cubo:I=16ma2$I=\frac{1}{6}m{a}^2$ y de la varilla I=112mL2$I=\frac{1}{12}m{L}^2$

 Solución

Problema 5

Un disco de masa 10 kg y radio 0.5 m está en reposo y puede girar en torno a un eje perpendicular al disco y que pasa por su centro. En la periferia del disco hay un dispositivo de masa despreciable, que permite lanzar un objeto de 200 g a una velocidad de 20 m/s, en la dirección y sentido indicado en la figura. Calcular:

• La velocidad angular del disco después del disparo
• El sentido en que gira.
• La variación de energía

 Solución

Problema 6

Obtener la fórmula del momento de inercia de una puerta de masa M, altura b y anchura a, respecto a un eje que pase a lo largo de su ladob.

Una puerta de masa M, se encuentra en reposo y es golpeada por una bola de masilla de masa m, tal como se muestra en la figura. La velocidad de la bola de masilla es v, y su dirección inicial es horizontal, formando un ángulo θ con la normal a la cara de la puerta, impactando a una distancia D del eje de la misma. Después de la colisión la bola se queda pegada a la puerta. Obtener:

• La expresión de la velocidad de la puerta después de la colisión.
• La variación de energía cinética del sistema (puerta más bola de masilla).

Datos m = 1.1 kg, M = 35 kg, a = 73 cm, b = 190 cm, D = 62 cm, θ = 22º, v = 27 m/s.

 Solución

Problema 7

Una bala de 100 g que lleva una velocidad horizontal de 50 m/s choca con el centro del cilindro de un péndulo. Después del choque la bala se mueve con una velocidad de 40 m/s. El péndulo gira alrededor de O y está formado por una varilla delgada de 200 g de masa y 20 cm de longitud, y un cilindro de 500 g de masa y 5 cm de radio.

• Calcular el ángulo máximo que gira el péndulo como consecuencia del choque y la energía perdida en el mismo.

 Solución

Problema 8

Una bala de 100 g de masa y 25 m/s de velocidad choca con una varilla delgada de masa M = 0.9 kg y longitud L = 45 cm, empotrándose en la misma 35 cm por debajo de su extremo superior. La varilla puede girar libremente alrededor de un eje perpendicular al plano del papel, que pasa por O. Determinar la velocidad angular del sistema varilla-bala inmediatamente después del choque. Calcular el máximo desplazamiento angular del sistema varilla-bala.

 Solución

Problema 9

Una bala de 100 g que lleva una velocidad de 12.5 m/s choca con el centro del disco de un péndulo, tal como se muestra en la figura. Después del choque, la bala queda empotrada en el centro del disco. El péndulo que gira en torno a un eje perpendicular que pasa por O, está formado por una varilla delgada de 200 g de masa y 20 cm de longitud y una lenteja de 500 g de masa y 5 cm de radio. Calcular la velocidad angular del sistema inmediatamente después del choque. Calcular el ángulo máximo que gira el péndulo como consecuencia del choque, y la energía perdida en el mismo.

 Solución

Problema 10

Disparamos una bala de 50 g con velocidad v contra un péndulo compuesto por una esfera y una barra, como indica la figura. Características de la barra: 40 cm de longitud, 200 g de masa; características de la esfera: 5 cm de radio y 500 g de masa. La barra está fijada por un punto O situado a 8 cm de su extremo.

• Si la bala se incrusta en el péndulo, calcular el valor mínimo de v para que el péndulo dé una vuelta completa.
• Si la bala atraviesa el péndulo y sale con velocidad v/2, calcular el ángulo de desviación máxima al que llegará el péndulo.

 Solución

Problema 11

Un péndulo está formado por una varilla delgada de 200 g de masa y 20 cm de longitud y una lenteja de forma cilíndrica 500 g de masa y 5 cm de radio. En el centro de la lenteja hay un dispositivo que lanza una partícula de 100 g con una velocidad de 12.5 m/s haciendo un ángulo de 30º con la horizontal tal como se muestra en la figura. Calcular la velocidad angular del péndulo inmediatamente después del disparo de la partícula. Calcular el máximo desplazamiento angular del péndulo

 Solución

Problema 12

Un sólido rígido en rotación en el plano horizontal con velocidad angular constante de 120 rpm, está formado por una varilla delgada de 2 kg de masa y 80 cm de longitud y dos esferas iguales de 6 kg y 10 cm de radio, tal como se muestra en la figura. Se dispara una bala de 300 g con velocidad v haciendo 30º con la horizontal. La bala se incrusta en el centro de la esfera.

• Cuál debe ser la velocidad v para que el sistema se pare después del choque.

 Solución

Problema 13

Un péndulo está formado por una varilla de 200 g de masa y 40 cm de longitud y dos esferas macizas: la superior de 500 g y 5cm de radio y la inferior de 400 g y 4 cm de radio, equidistantes 8 cm de los extremos de la barra. El péndulo se encuentra suspendido de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de la esfera superior. Sobre el centro de la esfera inferior incide una bala de 50 g y 10 m/s de velocidad que queda alojada en el centro de la esfera. Calcular Desplazamiento angular máximo del péndulo

 Solución

Problemas de conservación del momento angular

Problema 1

Dos esferas iguales de masas 6 kg y 20 cm de radio están montadas como se indica en la figura, y pueden deslizar a lo largo de una varilla delgada de 3 kg de masa y 2 m de longitud. El conjunto gira libremente con una velocidad angular de 120 rpm respecto a un eje vertical que pasa por el centro del sistema.

Inicialmente los centros de las esferas se encuentran fijos a 0.5 m del eje de giro. Se sueltan las esferas y las esferas deslizan por la barra hasta que salen por los extremos. Calcular:

• La velocidad angular de rotación cuando los centros de las esferas se encuentran en los extremos de la varilla.
• Hallar la energía cinética del sistema en los dos casos.

 Solución

Problema 2

Dos niños de 25 kg de masa cada uno están situados en el borde de un disco de 2.6 m de diámetro y 10 kg de masa. El disco gira a razón de 5 rpm respecto del eje perpendicular al disco y que pasa por su centro. ¿Cuál será la velocidad angular del conjunto si cada niño se desplaza 60 cm hacia el centro del disco?. Calcular la variación de energía cinética de rotación del sistema, y explica la causa del incremento de energía.

 Solución

Problema 3

Un niño de 25 kg está agachado sobre la tabla de un columpio desviado 30º de la vertical. La distancia entre el punto de suspensión y el c.m. del niño es 2 m.

• Calcular la velocidad angular ω₁ con la que llega a la posición de equilibrio.
• En esta posición, el niño se levanta rápidamente quedándose de pié sobre el columpio, con lo que eleva su centro de masa 30 cm. Como consecuencia su velocidad angular se incrementa. Calcular la velocidad angularω₂,
• Calcula la máxima desviación θ, del niño cuando está de pié sobre el columpio.
• ¿Cuánto vale la tensión de la cuerda cuando pasa por la posición θ/2?.

 Solución

Problema 4

Un cubo de madera de 2 kg y 20 cm de arista, que descansa sobre una superficie horizontal sin fricción, está sujeto a una barra rígida de longitud 2 m y masa 300 g fijada a la superficie por un extremo en el punto O y por el otro al centro del cubo. Una bala de masa 50 g y velocidad 200m/s se incrusta en el cubo a la altura de su centro de masa (en la dirección perpendicular al cubo, tal como se muestra en la figura)

• ¿Cuál es la velocidad angular del sistema después del choque?.
• ¿Se conserva la energía en esta colisión?.

Momentos de inercia respecto de un eje que pasa por el cm del cubo:I=16ma2$I=\frac{1}{6}m{a}^2$ y de la varilla I=112mL2$I=\frac{1}{12}m{L}^2$

 Solución

Problema 5

Un disco de masa 10 kg y radio 0.5 m está en reposo y puede girar en torno a un eje perpendicular al disco y que pasa por su centro. En la periferia del disco hay un dispositivo de masa despreciable, que permite lanzar un objeto de 200 g a una velocidad de 20 m/s, en la dirección y sentido indicado en la figura. Calcular:

• La velocidad angular del disco después del disparo
• El sentido en que gira.
• La variación de energía

 Solución

Problema 6

Obtener la fórmula del momento de inercia de una puerta de masa M, altura b y anchura a, respecto a un eje que pase a lo largo de su ladob.

Una puerta de masa M, se encuentra en reposo y es golpeada por una bola de masilla de masa m, tal como se muestra en la figura. La velocidad de la bola de masilla es v, y su dirección inicial es horizontal, formando un ángulo θ con la normal a la cara de la puerta, impactando a una distancia D del eje de la misma. Después de la colisión la bola se queda pegada a la puerta. Obtener:

• La expresión de la velocidad de la puerta después de la colisión.
• La variación de energía cinética del sistema (puerta más bola de masilla).

Datos m = 1.1 kg, M = 35 kg, a = 73 cm, b = 190 cm, D = 62 cm, θ = 22º, v = 27 m/s.

 Solución

Problema 7

Una bala de 100 g que lleva una velocidad horizontal de 50 m/s choca con el centro del cilindro de un péndulo. Después del choque la bala se mueve con una velocidad de 40 m/s. El péndulo gira alrededor de O y está formado por una varilla delgada de 200 g de masa y 20 cm de longitud, y un cilindro de 500 g de masa y 5 cm de radio.

• Calcular el ángulo máximo que gira el péndulo como consecuencia del choque y la energía perdida en el mismo.

 Solución

Problema 8

Una bala de 100 g de masa y 25 m/s de velocidad choca con una varilla delgada de masa M = 0.9 kg y longitud L = 45 cm, empotrándose en la misma 35 cm por debajo de su extremo superior. La varilla puede girar libremente alrededor de un eje perpendicular al plano del papel, que pasa por O. Determinar la velocidad angular del sistema varilla-bala inmediatamente después del choque. Calcular el máximo desplazamiento angular del sistema varilla-bala.

 Solución

Problema 9

Una bala de 100 g que lleva una velocidad de 12.5 m/s choca con el centro del disco de un péndulo, tal como se muestra en la figura. Después del choque, la bala queda empotrada en el centro del disco. El péndulo que gira en torno a un eje perpendicular que pasa por O, está formado por una varilla delgada de 200 g de masa y 20 cm de longitud y una lenteja de 500 g de masa y 5 cm de radio. Calcular la velocidad angular del sistema inmediatamente después del choque. Calcular el ángulo máximo que gira el péndulo como consecuencia del choque, y la energía perdida en el mismo.

 Solución

Problema 10

Disparamos una bala de 50 g con velocidad v contra un péndulo compuesto por una esfera y una barra, como indica la figura. Características de la barra: 40 cm de longitud, 200 g de masa; características de la esfera: 5 cm de radio y 500 g de masa. La barra está fijada por un punto O situado a 8 cm de su extremo.

• Si la bala se incrusta en el péndulo, calcular el valor mínimo de v para que el péndulo dé una vuelta completa.
• Si la bala atraviesa el péndulo y sale con velocidad v/2, calcular el ángulo de desviación máxima al que llegará el péndulo.

 Solución

Problema 11

Un péndulo está formado por una varilla delgada de 200 g de masa y 20 cm de longitud y una lenteja de forma cilíndrica 500 g de masa y 5 cm de radio. En el centro de la lenteja hay un dispositivo que lanza una partícula de 100 g con una velocidad de 12.5 m/s haciendo un ángulo de 30º con la horizontal tal como se muestra en la figura. Calcular la velocidad angular del péndulo inmediatamente después del disparo de la partícula. Calcular el máximo desplazamiento angular del péndulo

 Solución

Problema 12

Un sólido rígido en rotación en el plano horizontal con velocidad angular constante de 120 rpm, está formado por una varilla delgada de 2 kg de masa y 80 cm de longitud y dos esferas iguales de 6 kg y 10 cm de radio, tal como se muestra en la figura. Se dispara una bala de 300 g con velocidad v haciendo 30º con la horizontal. La bala se incrusta en el centro de la esfera.

• Cuál debe ser la velocidad v para que el sistema se pare después del choque.

 Solución

Problema 13

Un péndulo está formado por una varilla de 200 g de masa y 40 cm de longitud y dos esferas macizas: la superior de 500 g y 5cm de radio y la inferior de 400 g y 4 cm de radio, equidistantes 8 cm de los extremos de la barra. El péndulo se encuentra suspendido de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de la esfera superior. Sobre el centro de la esfera inferior incide una bala de 50 g y 10 m/s de velocidad que queda alojada en el centro de la esfera. Calcular Desplazamiento angular máximo del péndulo

 Solución

Problemas de dinámica de rotación

Problema 1

Un disco de 0.6 m de radio y 100 kg de masa, gira inicialmente con una velocidad de 175 rad/s. Se aplican los frenos que ejercen un momento deM= -2·t Nm. Determinar

• la aceleración angular en función del tiempo
• la velocidad angular en función del tiempo
• el ángulo girado en función del tiempo.
• El momento angular inicial y en el instante t=18 s.
• Representar el momento M en función del tiempo. Comprobar que el impulso angular
  ∫
  0
  t
  M⋅dt
  ${\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}M·dt}$  (área) es igual a la variación de momento angular.
• La velocidad, aceleración tangencial y normal de un punto de la periferia del disco en dicho instante. Representar estas magnitudes.

 Solución

Problema 2

Un bloque de 2000 kg está suspendido en el aire por un cable de acero que pasa por una polea y acaba en un torno motorizado. El bloque asciende con velocidad constante de 8 cm/s. El radio del tambor del torno es de 30 cm y la masa de la polea es despreciable.

• ¿Cuánto vale el momento que ejerce el cable sobre el tambor del torno?
• ¿Cuánto vale la velocidad angular del tambor del torno?
• ¿Qué potencia tiene que desarrollar el motor?.Calcular el trabajo realizado durante 10 s

 Solución

Problema 3

El sistema de la figura está inicialmente en reposo. El bloque de 30 kg está a 2 m del suelo. La polea es un disco uniforme de 20 cm de diámetro y 5 kg de masa. Se supone que la cuerda no resbala sobre la polea. Encontrar: La velocidad del bloque de 30 kg justo antes de tocar el suelo. La velocidad angular de la polea en ese instante. Las tensiones de la cuerda. El tiempo que tarda el bloque de 30 kg en tocar el suelo. (Resolver el problema por dinámica y aplicando el balance energético)

 Solución

Problema 4

Sobre un plano horizontal está situado un cuerpo de 50 kg que está unido mediante una cuerda, que pasa a través de una polea de 15 kg a otro cuerpo de 200 kg. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo de 50 kg y el plano horizontal vale 0.1, calcular.

• La aceleración de los cuerpos
• Las tensiones de la cuerda
• La velocidad de los cuerpos sabiendo que el de 200 kg ha descendido 2 m partiendo del reposo. (emplear dos procedimientos de cálculo para este apartado)

 Solución

Problema 5

Dos cuerpos de 3 y 2 kg están unidos por una cuerda que pasa por una polea en forma de disco (I=MR²/2)  de 0.5 kg de masa y 20 cm de radio. Ambos deslizan sobre un plano horizontal y otro inclinado 60º. Los coeficientes de rozamiento entre los cuerpos y los planos inclinados son 0.1 y 0.3 respectivamente. Calcular:

• La aceleración del sistema
• Las tensiones de la cuerda

La velocidad que adquieren los bloques cuando se desplazan 5 m a lo largo de los planos inclinados respectivos, partiendo del reposo. Emplear dos procedimientos de cálculo (cinemática y balance energético) para este apartado, comprobando que se obtienen los mismos resultados

 Solución

Problema 6

Una esfera hueca de masa M=6 kg y radio R=8 cm puede rotar alrededor de un eje vertical.

Una cuerda sin masa está enrollada alrededor del  plano ecuatorial de la esfera, pasa por una polea de momento de inercia I=3·10^-3 kg·m² y radio r=5 cm y está atada al final a un bloque de masa m=0.6 kg. No hay fricción en el eje de la polea y la cuerda no resbala. 

• ¿Cuál es la velocidad del bloque cuando ha descendido 80 cm?

Resolverlo dinámica y por balance energético. I (esfera hueca)=2/3 MR²

 Solución

Problema 7

Dos cuerpos de 3 y 5 kg están unidos por una cuerda que pasa por una polea en forma de disco de 2 kg de masa y 20 cm de radio. Ambos deslizan sobre planos inclinados de 30º y 45º. Los coeficientes de rozamiento entre los cuerpos y los planos inclinados son 0.3 y 0.1 respectivamente. Calcular:

• La aceleración del sistema,
• Las tensiones de la cuerda,
• La velocidad que adquieren los bloques cuando se desplazan 5 m a lo largo de los planos inclinados respectivos, partiendo del reposo. (Emplear dos procedimientos de cálculo para este apartado, comprobando que se obtienen los mismos resultados).

 Solución

Problema 8

Un disco de 0.2 kg y de 10 cm de radio se hace girar mediante una cuerda que pasa a través de una polea de 0.5 kg y de 7 cm de radio. De la cuerda cuelga un bloque de 3 kg, tal como se muestra en la figura. El disco gira alrededor de un eje vertical en cuyo extremo hay una varilla de 0.75 kg masa y de 20 cm de longitud perpendicular al eje y en cuyos extremos se han fijado dos esferas iguales de 2 kg de masa  y 5 cm de radio. Se suelta el bloque y el dispositivo comienza a girar. Calcular:

• El momento de inercia del dispositivo.
• La aceleración del bloque.
• La velocidad del bloque cuando ha descendido 2 m partiendo del reposo (resolver este apartado por energías).

 Solución

Problema 9

El sistema de la figura consta de una polea formada por dos discos coaxiales soldados de masas 550 y 300 g y radios 8 y 6 cm, respectivamente. Dos masas de 600 y 500 g cuelgan del borde de cada disco. Calcular: ¿En qué sentido gira? La tensión de cada cuerda La aceleración de cada masa La velocidad de cada cuerpo cuando uno de ellos (¿cuál?) haya descendido 3 m partiendo del reposo (emplea dos procedimientos de cálculo).

 Solución

Problema 10

Sobre un plano horizontal y que presenta una resistencia al deslizamiento de coeficiente μ=0.2, desliza un bloque de 3 kg de masa unido a una cuerda que se enrolla en la periferia de una polea formada por un disco 5 kg y 0.3 m de radio que tiene una  hendidura de 0.1 m tal como se ve en la figura. De la cuerda enrollada en la hendidura pende un bloque de 10 kg de peso. Calcular:

• Las tensiones de las cuerdas
• La aceleración de cada cuerpo
• El bloque de 10 kg desciende 2 m partiendo del reposo, calcular la velocidad de cada uno de los bloques  (resolver este apartado relacionado trabajos y energías).

 Solución

Problema 11

Sobre un plano inclinado 30º y que ofrece una resistencia al deslizamiento de coeficiente μ=0.2, desliza un bloque de 3 kg de masa unido a una cuerda que se enrolla en la periferia de una polea formada por dos discos acoplados de 1 kg y 0.5 kg y de radios 0.3 m y 0.1 m respectivamente. De la cuerda enrollada al disco pequeño pende un bloque de 10 kg de peso. Calcular:

• Las tensiones de las cuerdas
• La aceleración de cada cuerpo
• La velocidad de cada cuerpo si el bloque de 10 kg desciende 2 m partiendo del reposo (emplear dos procedimientos distintos para este apartado).

 Solución

Momento de inercia de los discos soldados

I=121⋅0.32+120.5⋅0.12=0.0475 kg⋅m2${\displaystyle I=\frac{1}{2}1·{0.3}^2+\frac{1}{2}0.5·{0.1}^2=0.0475{\text{kg·m}}^{\text{2}}}$

Ecuaciones del movimiento de cada uno de los cuerpos

⎧⎩⎨⎪⎪T1−Fr−3⋅9.8⋅sin30=3a1N=3⋅9.8⋅cos30Fr=0.2⋅NT2⋅0.1−T1⋅0.3=Iα10⋅9.8−T2=10⋅a2${\displaystyle \begin{array}{l}<br>\end{array}}$
${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}{T}_1-F_r-3·9.8·\sin 30=3a_1\\ N=3·9.8·\cos 30\\ F_r=0.2·N\end{array}\\ T_2·0.1-T_1·0.3=I\alpha \\ 10·9.8-T_2=10·a_2\end{array}}$

Relación entre las aceleraciones de los bloques y la aceleración angular de los discos a₁=α·0.3

a₂= α·0.1

Resolvemos el sistema de ecuaciones: α=9.25 rad/s², a₁=2.77 m/s², a₂=0.92 m/s²

Si el cuerpo de 10 kg desciende 2 m partiendo del reposo

2=12a2t2v2=a2t}v2=1.92 m/s${\displaystyle \begin{array}{l}2=\frac{1}{2}{a}_2{t}^2\\ v_2=a_{2}t\end{array}\}{v}_2=1.92\text{m/s}}$

Balance energético

Cuando el cuerpo de 10 kg desciende x₂=2 m el cuerpo de 3 kg se desplaza x₁

θ=x10.3=x20.1  x1=6 m${\displaystyle \theta =\frac{x_1}{0.3}=\frac{x_2}{0.1}{x}_1=6\text{m}}$

Trabajo de la fuerza de rozamiento

W=-F_r·x₁=-0.2·3·9.8·cos30·6=-30.55 J

W=1210⋅v22+12Iω2+123⋅v21+3⋅9.8⋅6⋅sin30−10⋅9.8⋅2${\displaystyle \mathrm{<br>}}$

${\displaystyle W=\frac{1}{2}10·v_2^2+\frac{1}{2}I{\omega }^2+\frac{1}{2}3·v_1^2+3·9.8·6·\sin 30-10·9.8·2}$

Relación entre las velocidades de los bloques y la velocidad angular de los discos v₁=ω·0.3

v₂= ω·0.1

El resultado es ω=19.24 rad/s, v₁=5.77 m/s, v₂=1.92 m/s, el mismo que hemos obtenido por dinámica

Profeso: César MEZA GONZALEZ

Tarma Perú